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一般形y=ax²+bx+cのままだと頂点が読み取れないため、平方完成で標準形y=a(x−p)²+qに直します。aの符号で開き方が決まり、a>0なら下に凸、a<0なら上に凸。頂点は(p,q)、軸はx=pで、最大値・最小値もこの形からそのまま読めます。共通テストでは平方完成→頂点→グラフ概形の流れが頻出です。

因数分解できない二次方程式ax²+bx+c=0を解くときに使います。判別式D=b²−4acは解の個数を判定する道具で、D>0で異なる2実数解、D=0で重解（1つ）、D<0で実数解なし（虚数解）になります。bが偶数のときは省略形x=(−b′±√(b′²−ac))/a（b=2b′）が使えて計算がラクになります。

三角形ABCの外接円の半径Rと各辺・各角の関係を結ぶ定理です。「1辺と対角」「2角と1辺」がわかるときに残りの要素を求める道具になります。逆に、外接円の半径を求める問題でも頻出。a:b:c=sinA:sinB:sinCの形で比例関係としても使えます。

三平方の定理の拡張形で、直角三角形でなくても使えます。「2辺と挟む角」がわかれば残りの辺が、「3辺」がわかれば角度が求まります。第2式は第1式を変形しただけ。鋭角三角形か鈍角三角形かの判定（cosの符号）にも使えます。

高さがわからなくても、2辺と挟む角だけで三角形の面積を一発で出せる便利公式です。底辺×高さ÷2の高さをsinで表したもの。3辺がすべてわかるときはヘロンの公式S=√(s(s−a)(s−b)(s−c))（sは半周長）も併用できます。共通テスト・記述試験ともに頻出。

分散はデータが平均からどれだけ散らばっているかを「ズレの2乗の平均」で表したもので、単位が元データの2乗になります。標準偏差はその平方根で、元データと同じ単位に戻したもの。実用的には標準偏差の方をよく使います。別公式s²=（x²の平均）−（平均）²も覚えておくと計算が楽になります。

共分散は2つの変量x,yが「同じ向きに動くか」を表す量で、正なら正の相関、負なら負の相関、0付近なら無相関です。共分散はxとyの単位の積（例：cm・kg）で値が変わってしまうため、各標準偏差で割って−1≦r≦1に正規化したのが相関係数。r=±1で完全な直線関係になります。

順列は「並べる」（順序を区別する）、組合せは「選ぶだけ」（順序を区別しない）。並び順に意味があるかどうかで使い分けます。同じものを含む並べ方はn!/(p!q!r!)、円順列は(n−1)!、じゅず順列は(n−1)!/2など派生公式も頻出。重複組合せnHrは「区別しないn種類からr個取る（重複OK）」場合に使います。

反復試行は「同じ試行をn回繰り返してr回成功する確率」を求める公式で、二項分布の基礎です。条件付き確率P(B|A)は「Aが起きた条件下でBが起きる確率」。問題文の「〜であるとき」の表現があれば条件付き確率を疑います。ベイズの定理の入口にもなる重要概念。

2つの整数の最大公約数（gcd）を効率的に求めるアルゴリズムです。原理は「aをbで割った余りrとbの最大公約数は、aとbの最大公約数と等しい」。電卓なしで素早く計算でき、不定方程式の解を求めるときの土台にもなります。逆向きにたどることで「ax+by=gcd(a,b)」を満たす整数解も得られます。

ax+by=cの整数解を求める問題。cがgcd(a,b)の倍数のときに解をもち、ユークリッドの互除法を逆にたどって特殊解を見つけ、そこに媒介変数kを加えて一般解を表します。共通テスト・記述試験ともに頻出で、必ず一般解の形まで答えます。

チェバの定理は「三角形の3頂点から対辺へ引いた3直線が1点で交わる⟺各辺の比の積=1」という性質。メネラウスの定理は「三角形を1直線が切るときの比の積=1」。式は同じ形だが、適用する図形条件が異なります。覚え方は「頂点→分点→頂点→分点…と一周する」ループ。

方べきの定理は、円外（または円内）の1点から2本の直線を引いたとき、各直線と円の交点までの距離の積が等しくなる定理。接線の場合は接点までの距離の2乗を使います。接弦定理は「接線と弦のなす角＝弦の対する円周角」。どちらも円が絡む問題で頻出です。

指数を「整数」から「有理数（分数）」「実数」へ拡張しても同じ法則が成立します。a^m・aⁿ=a^m+nを最重要として、ここから他の法則がすべて導けます。a⁰=1（任意の0乗は1）、a⁻ⁿ=1/aⁿ（負の指数は逆数）、a^(1/n)=ⁿ√a（分数指数はn乗根）の3つの定義を押さえれば、対数や複雑な式も対応できます。

対数log_aMは「aを何乗したらMになるか」を表す関数で、指数の逆演算です。積→和・商→差・累乗→積に変換する性質が便利。底aが揃っていない計算は換底公式で底を統一します。底はa>0,a≠1、真数はM>0が条件。常用対数（底10）と自然対数（底e）が頻出。

三角関数のすべての公式の出発点。倍角・半角・合成・和積などすべてここから導けます。覚え方は「咲いたコスモス、コスモス咲いた」（sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ）。tanの加法定理は分母に「1∓tanα・tanβ」が来る点が混同しやすいので注意。共通テスト・記述ともに最頻出公式の一つです。

倍角公式は加法定理でα=βとした特殊形、半角公式は倍角を逆向きに使ったもの。合成公式はa・sinθ+b・cosθを1つのsin（またはcos）にまとめる技で、最大値・最小値問題で必須です。合成では位相αはtanα=b/aで決まり、最大値は√(a²+b²)、最小値は−√(a²+b²)になります。

導関数f′(x)は元関数の瞬間の変化率＝接線の傾きを表します。多項式の場合は項ごとに「指数を係数に・指数を1減らす」だけ。f′(x)=0となるxが極値の候補で、増減表を作って極大・極小を判定します。x=aでの接線の方程式はy=f′(a)(x−a)+f(a)。

不定積分は微分の逆で、∫xⁿdx=xⁿ⁺¹/(n+1)+Cが基本。定積分は範囲a→bで∫を計算したもの＝面積。2曲線で囲まれた面積は∫(上−下)dxで求めます。1/6公式∫(x−α)(x−β)dx=−(β−α)³/6は2交点の面積を一発で出せる入試最頻出の裏ワザです。

パスカルの三角形の係数を一般化した定理。(a+b)ⁿの展開項は_nC_k・a^n−k・b^kで表され、係数は二項係数（組合せの数）になります。「特定の項の係数」「定数項」を求める問題で頻出。一般項T_k+1=_nC_k・a^n−k・b^kを使うと、何乗の項を聞かれてもkを設定して即計算できます。

2つ以上の正の数について「相加平均≧相乗平均」が成り立つ重要不等式。最小値問題で「x+1/x型」「a/b+b/a型」が出たら即座に思い出すべき公式です。等号成立条件（a=b）を必ず明記しないと減点されます。3変数版(a+b+c)/3≧³√(abc)もあります。

等差数列は隣り合う項の差dが一定、等比数列は隣り合う項の比rが一定。一般項a_nさえ出せば、第n項の値も和S_nも一発で計算できます。等差の和は「（初項+末項）×項数÷2」、等比の和はr≠1のときa(1−rⁿ)/(1−r)。等比でr=1なら和はnaになる点に注意。

Σ（シグマ）は「足し算の総和」を表す記号。1乗和・2乗和・3乗和の3公式は丸暗記必須。3乗和Σk³は1乗和Σkの2乗と一致する美しい性質があります。複合的なΣは線形性（係数を外に・和を分解）で1乗・2乗・3乗の組み合わせに変換します。

標本から母集団の平均μを推定する区間推定の公式。標本平均xを中心に、左右に1.96σ/√n（95%）または2.58σ/√n（99%）の幅を取った区間が信頼区間です。サンプルサイズnが大きいほど区間が狭くなり、推定の精度が上がります。2025年から共通テストでも出題範囲。

内積a・b=|a||b|cosθはベクトルどうしの「向きの揃い具合」を数値化したもの。内積=0で2ベクトルは垂直、内積が|a||b|なら同じ向き、−|a||b|なら逆向き。成分計算なら座標を掛けて足すだけ。角度を求めたいときはcosθ=a・b/(|a||b|)と変形します。

点Pの位置を基準点Oからのベクトルpで表す手法。線分ABをm:nに内分する点の位置ベクトルは(na+mb)/(m+n)。中点はm=n=1で(a+b)/2。外分点は分母が(m−n)、第1項に−が付く点だけ違います。三角形の重心は3頂点の位置ベクトルの平均で表せます。

微分・積分で関数を扱うときに必須の基本極限。lim sin x/x=1から三角関数の微分公式が、lim(1+1/n)ⁿ=eから自然対数の底eが定義されます。eは≒2.718の超越数で、(e^x)′=e^xという「微分しても変わらない」ユニークな性質をもちます。

数学IIIでは三角関数・指数関数・対数関数の微分が登場します。e^xは微分しても形が変わらない特別な関数。logの微分で1/xが出る理由は、自然対数の底をeに取っているから。合成関数の微分（連鎖律）「外側を微分×中身を微分」を使えば複雑な関数も処理できます。

関数の積(fg)′=f′g+fg′と商(f/g)′=(f′g−fg′)/g²の公式。商の公式は分母にg²、分子は「f微分・g残り−f残り・g微分」の順序を間違えやすいので要注意。合成関数とあわせて使うと、ほぼすべての関数が微分できるようになります。

置換積分は「中身を文字tに置く」テクニックで、複雑な関数を簡単な形に変えるのに使います。dx=（dt/置換式の微分）の処理を忘れないこと。部分積分は積の積分で、∫f′g=fg−∫fg′。LIATE則（log,inverse,algebra,trig,exp）の順で「先に微分する関数」を選ぶと失敗しにくいです。

x軸まわりの回転体の体積はπ∫f(x)²dxで、断面が円（半径f(x)・面積πf(x)²）の積み重ね。y軸回転や2曲線で囲まれた領域の回転は別公式に。曲線の長さL=∫√(1+(f′)²)dxは積分が複雑になりがちなので、媒介変数表示版∫√((dx/dt)²+(dy/dt)²)dtもよく使います。

数学Bの平面ベクトルを3次元（x,y,z）に拡張した分野。公式は2次元と同じで、第3成分が加わるだけです。平面の方程式ax+by+cz+d=0は法線ベクトル(a,b,c)が垂直に立っている平面を表し、点と平面の距離も定型公式で計算できます。空間図形の問題は座標を取って解くのが定石。

楕円は2焦点からの距離の和が一定、双曲線は差が一定、放物線は焦点と準線からの距離が等しい点の集合。標準形x²/a²±y²/b²=1で焦点・頂点・離心率がすべて読み取れます。離心率e<1で楕円、e=1で放物線、e>1で双曲線という統一的な分類もあります。

複素数z=a+biを平面の点(a,b)とみて、原点からの距離r（絶対値）と偏角θでz=r(cosθ+i sinθ)と書くのが極形式。ド・モアブルの定理はzⁿの計算を「rⁿの計算＋角度nθ」だけに簡略化する強力な公式。複素数のn乗・n乗根・回転の表現で大活躍します。