中学数学の公式一覧
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中学数学の公式・定理一覧
中学3年間で習う公式・定理を、4つの分野（数と式・関数・図形・データ確率）に分けて整理しました。テスト前の見直しや高校入試対策に活用できます。各項目には「公式」と「定理」の種別を明示しています。
数と式
数と式は、計算のルールや方程式の解き方を学ぶ分野です。
計算法則・等式の性質 中1
計算の3つの基本法則と4つの等式の性質。式を整理したり方程式を解く土台になります。
「順番を入れ替えてもよい」のが交換法則、「組み合わせを変えてもよい」のが結合法則、「カッコを外せる」のが分配法則です。
等式は「両辺に同じ計算をしてもイコールは保たれる」という性質があります。これが方程式を解く根拠です。
指数法則 中3〜高1
累乗（同じ数を何回も掛け算したもの）の計算ルール。中3の文字式の計算で使います。
指数とは aⁿ の n のことで「a を n 回掛ける」という意味です。中学では1番目（指数の積）が中心で、残り2つは高校で詳しく学びます。
一次・連立方程式 中1〜中2
一次方程式は中1、連立方程式は中2で習います。等式の性質を使って解きます。
「2x + 3 = 7」のような方程式を、「2x = 7 − 3」のように +3 を反対側へ符号を変えて移すこと。
比例式は「内側の積 = 外側の積」で計算できます。
2つの未知数（x, y）がある式を解くときは、まず1文字を消去します。
展開・乗法公式・因数分解 中3
展開は「カッコをはずして広げる」、因数分解は「式をカッコでまとめる」。互いに逆の操作です。乗法公式は中3で最頻出。
左の図は (a+b)² を1辺 (a+b) の正方形の面積として視覚化したものです。a²、2ab、b² の合計が全体の面積になります。
因数分解は乗法公式の逆方向の計算です。まず共通因数があればくくり出し、その後に公式を使うのが基本手順。「足してa+b、掛けてab」になる2数を見つけるのがコツ。
因数分解は中3最頻出単元。詳しい解説と無料計算機・例題3問・練習10問・印刷プリント15問はこちら。
平方根 中3
平方根とは「2乗するとaになる数」のこと。√（ルート）の記号で表します。
掛け算・割り算は √ の中でまとめて計算できます。足し算・引き算はそのまま中をまとめられない点に注意。
分母にルートが残らないようにするための変形。分母分子に同じ数を掛けます。
二次方程式 中3
ax² + bx + c = 0 の形の方程式。解の公式を使えば必ず解けます。
解の公式の √ の中（b²−4ac）が、正なら異なる2解、0なら1つの解（重解）、負なら解なしになります。この値は高校で「判別式」と呼ばれます。
計算しやすい形の場合は、解の公式を使わずに早く解けます。
解の公式は中3数学の必須単元。詳しい解説と無料計算機・例題3問・練習問題10問・証明はこちら。
速さ・割合・濃度（文章題） 中1〜中2
方程式や関数の文章題で頻出する公式です。小学校で学ぶ内容ですが、中学の入試問題でも超頻出。
「み（道）・は（速さ）・じ（時間）」と覚えるのが定番。基本式は 距離 ＝ 速さ × 時間 で、他の2つはこれを変形したもの。単位（km/h、m/s）にも注意。
食塩水 ＝ 食塩 ＋ 水であることに注意。「水100gに食塩20g溶かす」場合、食塩水は120g（100ではない）。
関数
関数は、量と量の関係を式で表す分野です。グラフを描けるようになることが重要です。
比例・反比例 中1
比例は「一方が2倍になればもう一方も2倍」、反比例は「一方が2倍になればもう一方は半分」になる関係です。
グラフは原点を通る直線。a > 0 で右上がり、a < 0 で右下がり。
グラフは双曲線。x軸・y軸に近づくが触れません。
一次関数・中点の座標 中2
一次関数は y = ax + b の形で、傾き a と切片 b でグラフが決まります。
切片 b はグラフがy軸と交わる高さ、傾き a は1進むごとに上がる量。
定理：2直線が平行 ⇔ 傾きが等しい。
x座標とy座標、それぞれ平均をとるだけ。
関数 y = ax² 中3
y = ax² は 放物線 のグラフを描く関数。x² が出てくるのが特徴。
グラフは原点を頂点とする放物線で、y軸に対して対称。a > 0 なら下に凸、a < 0 なら上に凸。
図形
図形は、平面・空間の性質や面積・体積、合同・相似・三平方の定理を学ぶ分野です。中学数学で最も学ぶ内容が多い分野です。
基本図形の面積 中1
中学数学で頻繁に使う基本図形の面積公式。小学校で学ぶ内容ですが、中学の図形問題で何度も使います。
「高さ」は底辺に対して垂直な長さです。斜めの辺の長さではないので注意。
台形は「上底＋下底」に高さを掛けて2で割る。ひし形は2本の対角線が垂直に交わるので、長方形の半分の面積になります。
平面図形の基本（円・扇形） 中1
円と扇形の周の長さ・面積を求める基本公式です。半径 r と中心角 θ（シータ） を使って計算します。
rは円の半径、πは円周率（約3.14）。πは「どんな大きさの円でも、円周÷直径＝約3.14」になる定数です。
直径と半径を混同しないよう注意。直径10cmの円なら半径は5cmです。
扇形は円の一部分。θ/360°は「円全体に対する割合」を表します。中心角60°なら 60/360＝1/6で、円全体の1/6の大きさです。
「円周・面積に θ/360° を掛ける」と覚えるのがコツ。弧の長さが分かっているときは (1/2)ℓr でも求められます（一部の教科書で扱う発展内容）。
空間図形（体積・表面積） 中1
立体図形（角柱・円柱・角錐・円錐・球）の体積と表面積を求める公式です。
「底面積 × 高さ」が体積の基本。円柱の側面は展開すると長方形になり、横が円周（2πr）、縦が高さ（h）。
角錐・円錐の体積は、同じ底面積・高さの角柱・円柱の 1/3。
「身の上に心配あ〜る三乗（4/3πr³）」「心配ある事情、参上（4πr²）」と語呂で覚えるのが定番。
角度・三角形・多角形の性質 中2
角度の関係は中2の証明問題で必須。基本的な定理を確実に押さえます。
2本の平行線に1本の直線が交わると、同じ位置にできる角（同位角）と、互い違いの角（錯角）はそれぞれ等しくなります。
多角形は対角線で三角形に分割できます。n角形は (n−2) 個の三角形に分割でき、内角の和は 180° × (n−2)。
三角形の合同条件 中2
2つの三角形が完全に重なる条件です。中2の証明問題で必ず使う最重要定理。
2つの三角形について、3つの条件のいずれか1つが成り立てば「合同（完全に重なる）」と言えます。
直角があるため、通常の合同条件より弱い条件で合同を示せます。
三角形と四角形の性質 中2
特殊な三角形・四角形（二等辺三角形・平行四辺形・ひし形・長方形・正方形）の性質。
2辺が等しい三角形が二等辺三角形。底角（等しい辺の対角）は等しくなります。
「平行四辺形になる条件」も同じ4つ＋「1組の対辺が平行で等しい」の合計5つです。
これらはすべて平行四辺形の特別な形なので、平行四辺形の性質はすべて引き継ぎます。
相似・中点連結定理 中3
形が同じで大きさが違う図形が「相似」です。相似比から面積・体積が求められます。
合同条件と似ていますが、「辺」が「辺の比」になる点が異なります。
三角形の2辺の中点を結ぶ線分は、3つ目の辺と 平行 で、長さは 半分。
長さの比が m:n なら、面積は2乗、体積は3乗の比になります。
円周角と円の接線 中3
円周角の定理は中3の最重要定理。中心角の半分という関係を覚えます。
円の中心から見た角度（中心角）の半分が、円周上から見た角度（円周角）です。
円と直線が1点で交わるとき、その直線を「接線」と言います。接線は接点を通る半径と必ず直角です。
円周角の定理は中3図形分野の最頻出定理。詳しい解説と3場合の証明・例題3問・練習問題15問はこちら。
三平方の定理 中3
直角三角形の3辺の関係を表す定理。中3最後の単元で、入試で最頻出です。
直角を挟む2辺（a, b）の2乗の和は、斜辺（c）の2乗に等しい。逆も成立し、a²+b²=c² なら直角三角形です。
正三角形を半分にすると30°-60°-90°、正方形を対角線で切ると45°-45°-90° の三角形ができます。
三平方の定理を立体に応用したもの。たて・よこ・高さの2乗の和の平方根。
三平方の定理は中3数学の最頻出単元。詳しい解説と無料の自動計算機・4つの証明・入試例題はこちら。
データ・確率
データ・確率は、統計と確率を学ぶ分野です。
度数分布・代表値 中1
データを整理する基本ツール。ヒストグラム・平均・中央値・最頻値を理解します。
データをいくつかの区間（階級）に分けて、それぞれに何個入るか（度数）を数えます。
3つの代表値はそれぞれデータの「典型」を表しますが、極端な値の影響を受けやすいのは平均値、外れ値に強いのは中央値です。
確率・場合の数 中2
起こりやすさを数値化したもの。樹形図や表で全パターンを数えます。
「何通りあるか」を数えるには、樹形図や表を使います。「少なくとも1回は〜」のような問題は、余事象（起こらない場合の確率）を1から引くと簡単です。
箱ひげ図と四分位数 中2
データの散らばり具合を視覚化する図。中2で2021年から扱う新単元です。
データを4等分する3つの値（Q1、Q2、Q3）でデータの分布を表します。箱ひげ図はそれを視覚化したもの。中央値（Q2）は全データの真ん中、Q1とQ3はデータを半分にした各々の真ん中の値です。
標本調査 中3
全体（母集団）を調べる代わりに、一部（標本）から推定する統計的な方法です。
テレビの視聴率調査や選挙の出口調査も標本調査です。母集団の数は、上の比例式で推定できます。
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よくある質問
中学数学の公式・定理についてよく寄せられる質問にお答えします。
公式・定理・定義の違いは？
「公式」は計算や問題解決に使う式（例：解の公式）、「定理」は証明された事実（例：三平方の定理）、「定義」は用語の意味づけ（例：直角三角形＝1角が90°の三角形）です。中学数学では厳密に区別せず、まとめて「使えるルール」として学べばOKです。
公式を覚える裏ワザは？
丸暗記より「導出を一度自分で行う」「似た公式をペアで覚える」「例題を解いて反復する」の3つが王道です。乗法公式と因数分解はペアで覚える、語呂合わせを使うなどの工夫も有効です。
覚えておくと便利な公式は？
教科書の必修以外で、特に役立つのは解の公式（省略形 b=2b'）、たすきがけ、方べきの定理、ヘロンの公式、角の二等分線の性質（BD/DC = AB/AC）などです。難関校受験では計算スピードと解法の幅が広がります。
教科書外の公式は覚えるべき？
志望校のレベル次第です。標準的な公立高校が志望なら教科書範囲で十分。難関私立・国立や上位公立高校を狙うなら、方べきの定理・接弦定理・ヘロンの公式・たすきがけなどは習得しておくと有利です。
解の公式はいつから習う？
解の公式は中学3年の二次方程式の単元で習います。学校によって扱う時期は秋〜冬が多めです。判別式 D = b²−4ac はやや発展的内容として扱われ、教科書では深入りしないことが多いですが、入試では頻出です。
高校入試で必須の公式は？
特に頻出なのは「三平方の定理」「解の公式」「乗法公式・因数分解」「円周角の定理」「相似比と面積比・体積比」の5本柱です。これらが理解できていれば、ほとんどの入試問題で得点できます。